理解矩阵

矩阵的本质是运动的描述

  • “空间”是容纳运动的一个对象集合,而变换则规定了对应空间的运动
  • 空间是一个对象集合,线性空间也是一个对象集合,其对象的特点是:线性空间中的任何一个对象,通过选取基和坐标的办法,都可以表达为向量的形式。
  • 线性空间里的运动被称为线性变换。在线性空间中,当你选定一组基之后,不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象,而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动(变换)。而使某个对象发生对应运动的方法,就是用代表那个运动的矩阵,乘以代表那个对象的向量。简而言之,在线性空间中选定基之后,向量刻画对象,矩阵刻画对象的运动,用矩阵与向量的乘法施加运动。
  • 矩阵的本质是运动的描述
  • 这里的“运动”的概念不是微积分中的连续性的运动,而是瞬间发生的变化。比如这个时刻在A点,经过一个“运动”,一下子就“跃迁”到了B点,其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。因此更准确地说,矩阵是线性空间里跃迁/变换的描述;而所谓变换,其实就是空间里从一个点(元素/对象)到另一个点(元素/对象)的跃迁。
  • 所谓相似矩阵,就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。按照这个定义,同一头猪的不同角度的照片也可以成为相似照片。
  • 矩阵不仅可以作为线性变换的描述,而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵,不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去,而且也能够把线性空间中的一个坐标系(基)表换到另一个坐标系(基)去。而且,变换点与变换坐标系,具有异曲同工的效果。
  • 矩阵与向量相乘,就是实施运动(变换)的过程
  • 同一个变换,在不同的坐标系下表现为不同的矩阵,但是它们的本质是一样的,所以本征值相同。

矩阵乘法

  • 固定坐标系下一个对象的变换等价于固定对象所处的坐标变换
  • Ma = b:“有一个向量,它在坐标系M的度量下得到的度量结果向量为a,那么它在坐标系I的度量下,这个向量的度量结果是b。”I是指单位矩阵,就是主对角线是1,其他为零的矩阵。
  • Ma = Ib的意思就是说:“在M坐标系里量出来的向量a,跟在I坐标系里量出来的向量b,其实根本就是一个向量啊!”
  • 你选择的坐标系(基)不同,得出来的向量的表示就不同。向量还是那个向量,选择的坐标系不同,其表示方式就不同。
  • “对坐标系施加变换的方法,就是让表示那个坐标系的矩阵与表示那个变化的矩阵相乘。”矩阵的乘法变成了运动的施加。只不过,被施加运动的不再是向量,而是另一个坐标系。
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