离散数学概念初导

离散数学研究基于离散空间而不是连续的数学结构。

其研究对象——例如整数、图和数学逻辑中的命题——不是光滑变化的,而是拥有不等、分立的值。因此离散数学不包含微积分和分析等连续数学的内容。离散对象经常可以用整数来枚举

离散空间:离散空间是特别简单的一种拓扑空间,在其中点都在特定意义下是相互孤立的。

拓扑空间:topological space,赋予拓扑结构的集合。拓扑空间就是最一般的空间,上面的所有性质都是由上面定义的拓扑,或者说,开集决定。拓扑空间是一种数学结构,可以在上头形式化地定义出如收敛、连通、连续等概念。

拓扑空间的定义:设X是一个非空集合,若U是X的子集组成的一个集族,满足:
O1:¢、X∈U
O2:T1,…,Tn∈U→∩(i=1,…,n)Ti∈U
O3:Tα∈U,α∈I→∪(α∈I)Tα∈U
则称U是X上的一个拓扑,称(X,U)是一个拓扑空间,U中的集合称为开集. 公理T1-T3称为是开集公理.

拓扑结构:如果对一个非空集合X给予适当的结构,使之能引入微积分中的极限和连续的概念,这样的结构就称为拓扑,具有拓扑结构的空间称为拓扑空间。引入拓扑结构的方法有多种,如邻域系、开集系、闭集系、闭包系、内部系等不同方法。

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